«Логические задачи для 9 класса» с ответами для детей и взрослых.

#1

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого:
"Сколько «серьезных» среди вас?", на который он ответил неразборчиво.
Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: "Что сказал Волков?"
Зайцев ответил: "Он сказал, что среди нас один «серьезный»". Белкин подтвердил сказанное товарищем.
Можно ли определить, к какой "партии" относится каждый из ребят?

Ответ?
Решение: Здесь также Зайцев и Белкин являются членами одной "партии".
Рассмотрим возможные варианты.
Из партии "серьезные" все ребята быть не могут (в этом случае ответы были бы другими).
Допустим, Волков — "серьезный", а его товарищи — "шутники".
В этом случае Волков ответил бы, что "серьезный" только он один, но Зайцев и Белкин, будучи "шутниками", не подтвердили бы этого.
Значит, этот вариант невозможен.
Допустим, "серьезными" являются только Зайцев и Белкин.
В этом случае их правдивый ответ о сказанном Волковым вполне может соответствовать тому, что сказал "шутник" Волков.
Оставшийся вариант: все ребята — "шутники".
При нем Волков мог сказать, что число "серьезных" среди них — два или три, а его "коллеги по партии" изменили бы ответ Волкова на приведенный в условии.
То есть и такой вариант возможен.
Итак, точно можно сказать, что Волков — "шутник", а принадлежность остальных двух ребят к той или иной партии установить невозможно.

#2

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого:
"Сколько «серьезных» среди вас?", на который тот ответил неразборчиво.
Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: "Что сказал Волков?"
Зайцев ответил: "Он сказал, что среди нас два «серьезных»". Белкин подтвердил сказанное товарищем.
К какой "партии" относятся Зайцев и Белкин?

Ответ?

Решение: Прежде всего заметим, что здесь в отличие от преды­дущих задач Зайцев и Белкин относятся к одной "партии",
т.е. они оба либо "серьезные", либо "шутники".
Рассмотрим возможные варианты.
Из партии "серьезные" все ребята быть не могут (в этом случае ответы были бы другими).
Допустим, Волков — "серьезный", а его товарищи — "шутники".
В этом случае Волков ответил бы, что "серьезный" только он один, а Зайцев и Белкин, будучи "шутниками", могли сказать то, о чем идет речь в условии.
То есть такой вариант возможен.
Допустим, "серьезными" являются только Зайцев и Белкин.
В этом случае Волков, будучи "шутником", не мог ответить, что "серьезными" действительно являются два его товарища. Следовательно, такой невозможен (получается противоречие со сказанным Зайцевым и Белкиным).

Оставшийся вариант (все ребята — "шутники") можно не рассматривать, так как даже если он не возможен, то ответом на вопрос в условии задачи является следующий: "Зайцев и Белкин относятся к «партии шутников»". Определить, из какой партии Волков, не представляется возможным (убедитесь в этом, исследовав оставшийся вариант).

#3

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого:
"Сколько «серьезных» среди вас?", на который тот ответил неразборчиво.
Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: "Что сказал Волков?"
Зайцев ответил: "Он сказал, что среди нас два «серьезных»".

И тогда Белкин закричал: "Не верьте Зайцеву! Он говорит неправду!"
Можно ли определить, к какой "партии" относится каждый из ребят?

Ответ?

Решение: Рассмотрим возможные варианты.
Допустим, Волков — "серьезный".

Тогда его правдивый ответ — "Среди нас два «серьезных»".

По условию это подтвердил Зайцев (значит, он при этом тоже "серьезный") и не подтвердил Белкин (значит, он — "шутник"). В целом этот вариант возможен.
Допустим, Волков — "шутник", т.е. "серьезный" среди ребят только кто-то один.
Вариантов возможного ответа Волкова — несколько.
Он мог ответить:
1) что "серьезных" среди них — два; это подтвердил Зайцев (значит, он при этом тоже "серьезный") и не подтвердил Белкин (значит, он — "шутник")
2) что "серьезных" среди них — три или ни одного;
Зайцев этого не подтвердил (значит, он при этом тоже "шутник"), а Белкин, опровергнувший Зайцева, — "серьезный".
Итак, установить принадлежность каждого из ребят к той или иной "партии" невозможно.

#4

Ученики Аникин и Бек сказали следующее: — Аникин: "Бек — «шутник»";

— Бек: "Аникин и Соколов — из одной «партии»".

Можно ли установить, к какой "партии" относится Соколов?

Ответ?

Решение: Допустим, Аникин — "шутник". Тогда его высказывание о Беке ложно, и "серьезный" Бек сказал правду, т.е. Соколов, как и Аникин, — "шутник".

Если же Аникин — "серьезный", то "шутник" Бек сказал неправду — на самом деле Аникин и Соколов относятся к разным "партиям", т.е. и в этом случае Соколов — "шутник".

Итак, в любом случае Соколов относится к "шутникам".

#5

Ученик Карасев высказал следующее утверждение о себе и своем однокласснике Сомове:
"По крайней мере один из нас «шутник»". К какой "партии" относится Карасев и к какой — Сомов?

Ответ?
Решение: Предположим, что Карасев — "шутник". Если бы это было так, то его утверждение
"По крайней мере один из нас «шутник»" было бы ложным (так как "шутники" всегда высказывают ложные утверждения).
Следовательно, в этом случае и Карасев, и Сомов были бы из "партии серьезных".
Таким образом, получается, что если бы Карасев был "шутником", то он не был бы им, что невозможно.
Отсюда мы заключаем, что Карасев не "шутник", он — "серьезный".
Но тогда высказанное Карасевым утверждение должно быть истинным.
Поэтому по крайней мере один из ребят в действительности "шутник".
Так как Карасев — "серьезный", то "шутником" является Сомов.
Итак, Карасев — "серьезный", а Сомов — из "партии шутников".

#6

Ученик Азизов сказал: "Или я — «шутник», или Волков — «серьезный»".

К какой "партии" относится каждый из двух учеников?

Ответ?

Решение: Азизов высказал сложное утверждение с дизъюнкцией, первая часть которого — ложная,
т.к. ни один из учеников класса не может сказать о себе, что он — "шутник".
Значит, это утверждение: — будет истинным (т.е. Азизов — "серьезный"), только если его вторая часть будет истинной (Волков — "серьезный"); — будет ложным (т.е. Азизов — "шутник"), если его вторая часть будет ложной (Волков — не относится к "серьезным").
Итак, "партийность" Азизова зависит от того, к какой "партии" относится Волков.
Начнем со второго варианта. Если Волков — "шутник", то и Азизов — "шутник".

Но тогда высказывание последнего является ложным.
Применив закон де Моргана к этому высказыванию, можем сказать, что Азизов — "серьезный", а Волков — "шутник", но это дает противоречие с анализируемым вариантом.
Первый вариант возможен, а значит, оба ученика относятся к "серьезным".

#7

Гусев, Уткин и Курочкин разговаривали между собой.
Проходивший мимо учитель спросил у Димы Гусева: "Дима, ты к какой «партии» относишься?"
Тот ответил, но так неразборчиво, что учитель не смог ничего понять.
Тогда учитель спросил у Уткина: "Что сказал Гусев?" "Гусев сказал, что он «шутник»", — ответил Уткин.
"Не верьте Уткину! Он говорит неправду!" — вмешался в разговор Курочкин. К какой "партии" относятся Уткин и Курочкин?

Ответ?
Решение: Задача аналогична предыдущей. Никто из учеников этого класса не может сказать:
"Я — «шутник»" (сказав это, "серьезный" солгал бы, а "шутник" — сказал бы правду). Следовательно, Гусев, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он "шутник".
Поэтому Уткин, утверждая, будто Гусев назвал себя "шутником", заведомо лгал. Значит, Уткин — "шутник". А так как Курочкин сказал, что Уткин лгал, когда тот действительно лгал, то Курочкин сказал правду. Следовательно, он — "серьезный". Таким образом, Уткин — "шутник", а Курочкин — "серьезный".

#8

Учитель спросил у Пети Иванова, "серьезный" ли он человек или "шутник".

Не расслышав ответа Иванова, он спросил у Сидора Петрова и Ивана Сидорова (сидевших рядом с Ивановым и все слышавших): "Что ответил мне Петя Иванов?".

Сидор сказал: "Петя ответил, что он серьезный человек".
Иван же сказал: "Иванов ответил, что он шутник".
Кем были Петров и Сидоров?

Ответ?

Решение: Прежде всего можно установить, что так как Петров и Сидоров на заданный вопрос ответили по-разному, то они относятся к разным "партиям" (один — "шутников", другой — "серьезных").

Рассмотрим возможные ответы Иванова. Если он — "серьезный", то на вопрос учителя он так и ответит (что он "серьезный").

Если же он "шутник" — то тогда он ответит, что он якобы "серьезный". Получается, что в любом случае Иванов должен ответить: "Я — «серьезный человек»".

Так как Петров сказал учителю то же, что ответил Иванов, то он относится к "партии серьезных". Тогда Сидоров — "шутник".

#9

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого:
"Сколько «серьезных» среди вас?", на который тот ответил неразборчиво.
Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: "Что сказал Волков?"
Зайцев ответил: "Он сказал, что среди нас один «серьезный»". И тогда Белкин закричал: "Не верьте Зайцеву! Он говорит неправду!"
К какой "партии" относятся Зайцев и Белкин?

Ответ?

Решение: Прежде всего заметим, что, как показано при решении задач № 4 и 5, Зайцев и Белкин не могут относиться к одной "партии", следовательно, один из них "серьезный", а другой — "шутник".

Определим, мог ли Волков на вопрос учителя ответить: "Среди нас один «серьезный»".

Если бы Волков был "серьезным", то всего среди ребят было бы два "члена этой партии". Волков не солгал бы и сказал, что среди троих ребят "серьезных" — два.
С другой стороны, если бы Волков был лжецом, то утверждение "Среди нас один «серьезный»" было бы истинным.
Но тогда Волков, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение.
Следовательно, на вопрос учителя Волков не мог ответить: "Среди нас один «серьезный»".

Из этого следует, что Зайцев неверно передал высказывание Волкова, из чего мы заключаем, что он — из "партии шутников", а Белкин — "серьезный".